আমরা আগের শ্রেণিতে জেনেছি, যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ তাকে বর্গ বলা হয় (চিত্র-১.১.১)। আর বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য এ একক হলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a2 বা (a a) বর্গ একক হবে। বিপরীতভাবে বলা যায়, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a2 বা (aa) হলে এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হবে।
উপরের চিত্র ১.১.২ থেকে দেখা যাচ্ছে, সমান দূরত্বে প্রতিটি সারিতে ৩টি করে এবং ৩টি সারিতে মার্বেল সাজানো হয়েছে। তাই মোট মার্বেলের সংখ্যা () = ৩২ = ৯টি। এখানে প্রতিটি সারিতে মার্বেলের সংখ্যা ৩টি এবং সারির সংখ্যাও ৩টি। তাই মার্বেল সাজানোর চিত্রটি বর্গাকার হয়েছে। সুতরাং ৩ এর বর্গ ৯ এবং ৯ এর বর্গমূল ৩।
| উপরের আলোচনা থেকে বলা যায়, কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায় তা ঐ সংখ্যার বর্গ এবং সংখ্যাটি হলো ঐ গুণফলের বর্গমূল। যেমন: () = ২২ = 8 এখানে ২ এর বর্গ হলো ৪ এবং ৪ এর বর্গমূল হলো ২। |
আমরা আগের শ্রেণিতে জেনেছি, স্বাভাবিক সংখ্যা, শূন্য ও ঋণাত্মক সংখ্যা একত্রে মিলে পূর্ণসংখ্যা হয়। তাই নিচের সারণিতে কিছু পূর্ণসংখ্যা দেওয়া আছে, তাদের বর্গ নির্ণয় করো।
উপরের সারণি থেকে দেখা যাচ্ছে, কিছু কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা যেমন: ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ……….. ইত্যাদি এদের বৈশিষ্ট্য এমন যে, এ সংখ্যাগুলোকে অন্যকোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। তাই এদেরকে পূর্ণবর্গ সংখ্যা বলা হয়। সারণি থেকে স্পষ্টত দেখা যাচ্ছে যে, সকল পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। আর এই স্বাভাবিক পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলোর বর্গমূল একটি পূর্ণসংখ্যা। যেমন: ৯ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং এটা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। কিন্তু এর বর্গমূল হলো ৩ ও-৩, যা একটি পূর্ণসংখ্যা।
| উপরের আলোচনা থেকে বলা যায়, কোনো একটি স্বাভাবিক সংখ্যা m কে যদি অন্য একটি পূর্ণসংখ্যা n এর বর্গ (n²) আকারে প্রকাশ করা যায়, তাহলে m কে n এর বর্গ সংখ্যা বলা হয় এবং n কে m এর বর্গমূল বলা হয়। |
নিচের সারণিতে ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গ সংখ্যা দেওয়া হয়েছে। খালি ঘরগুলো পূরণ কর।
উপরের সারণিভুক্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলো থেকে দেখা যাচ্ছে যে, পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলোর একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ১, ৪, ৫, ৬ ও ৯। কিন্তু কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ২, ৩, ৭ ও ৮ নেই।
| কাজ: ১। কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ১, ৪, ৫, ৬ ও ৯ হলেই কি সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? ২। নিচের সংখ্যাগুলোর কোনগুলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় কর। ২০৬২, ১০৫৭, ২৩৪৫৩, ৩৩৩৩৩, ২৫০০, ৫২৯, ৩০০, ১০৬৮ ৩। পাঁচটি সংখ্যা লিখ, যার একক স্থানীয় অঙ্ক দেখেই তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়। |
এবার সারণি থেকে একক স্থানে ১ রয়েছে এমন বর্গসংখ্যা নিই।
উপরের আলোচনা থেকে নিচের সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়-
১। যে সব সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক যদি ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
২। যে সব সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক যদি ০ বা ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে। যেমন: ১, ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯, .. ইত্যাদি। আবার নাও হতে পারে। যেমন: ১১, ৮৬, ৯০, ৩৫, ৭৪, ১৯৯, ... ইত্যাদি।
৩। যে সব সংখ্যার ডানদিক থেকে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, সেই সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে না।
যেমন: ৯০, ৩০০০, ৪০০০০০, ………….. ইত্যাদি।
৪। যে সব সংখ্যার ডানদিক থেকে জোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, সেই সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে। যেমন: ১০০, ৪০০, ২৫০০, ……….. ইত্যাদি। আবার নাও হতে পারে। যেমন: ১৩০০, ৩০০, ৫০০, ……. ইত্যাদি।
কাজ: ১। সারণি থেকে পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কে ৪ রয়েছে, এরূপ সংখ্যার জন্য নিয়ম তৈরি কর। ২। নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে থেকে পূর্ণবর্গ সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি কত হবে? |
উদাহরণ ৬। ৯৭২ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান: প্রথমেই ৯৭২ সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করি।
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই, ৯৭২ = (২ ২) (৩ ৩) (৩ ৩) ৩
এখন ৯৭২ এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে, ২ উৎপাদকটি দুইবার আর ৩ উৎপাদকটি পাঁচবার আছে অর্থাৎ ৩ উৎপাদকটি বিজোড় সংখ্যক আছে। আমরা জানি, পূর্ণবর্গ সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলো জোড়ায় জোড়ায় থাকে। তাই ৩ উৎপাদকটির জোড়া করতে হবে। এ জন্য ৯৭২ কে ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
সুতরাং নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩
উদাহরণ ৭। ১৫৬৮ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ভাগ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান: প্রথমেই ১৫৬৮ সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করি।
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই, ১৫৬৮ = (২ ২) (২২) ২ (৭ ৭)
এখন ১৫৬৮ এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে, ২ উৎপাদকটি পাঁচবার আর ৭ উৎপাদকটি
দুইবার আছে অর্থাৎ ২ উৎপাদকটি বিজোড় সংখ্যক আছে। আমরা জানি, পূর্ণবর্গ সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলো জোড়ায় জোড়ায় থাকে। তাই ২ উৎপাদকটির জোড়া করতে হবে। সুতরাং ১৫৬৮ কে ২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
সুতরাং নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২
common.read_more
common.or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
